제로베이스 데이터 파트타임 스쿨 학습 일지 [25.04.13]

[강의 요약]

[Part 02. 수학_Ch 01. 기초 수학] 강의 수강

11_수열부터 18_시그마까지 강의 수강하였음

🐢 100일 챌린지 🔥 : [▰▰▰▰▰▰▰▰▰▰▰▰▰▰                                          ] 28/100일 (28%)

 

 

 

 

[수열]

▶ 수열이란?

일정한 규칙을 가지고 나열된 수의 집합을 말한다.

수열은 보통 {an}으로 표현하며, 각 수를 항(term)이라고 한다.

항들의 순서를 정하는 변수 n은 보통 자연수다.

 

 

▶ 수열 예시와 일반항

수열	일반항(an)
2, 4, 6, 8, 10, 12...	an = 2n
3, 5, 7, 9, 11...	an = 2n + 1
1, 3, 5, 7, 9...	an = 2n - 1

각 수열의 항들을 관찰하면 등차가 일정함 → 등차수열

 

 

▶ 항의 합과 항의 관계

수열의 합 sn과 항 an의 관계는 다음과 같다.

an = sn - s(n-1) (단, n ≥ 2일 때 / a₁ = s₁)

즉, 이전까지의 합을 빼면 현재 항이 나온다.

 

 

▶ 연습 수열 - 일반항 찾기

다음 수열들의 규칙을 파악하고 일반항(an)을 구해보자.

일반항 찾는 팁 : 항 간의 차이(공차)를 먼저 계산하고 첫 번째 항과 비교

 

• 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23
  • 등차 : 3 → an = 3n - 1
• 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
  • 등차 : 4 → an = 4n + 1
• 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
  • 등차 : 3 → an = 3n + 7
• 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
  • 등차 : 4 → an = 4n - 4

 

 

 

▶ 요약

• 수열 : 규칙성을 가진 수의 나열
• 일반항(an) : n번째 항을 표현하는 수식
• 수열의 합(sn)과 항(an)은: an = sn - s(n-1)으로 연결
• 수열을 보면 항상 규칙 → 공차/공비 → 일반항 식을 파악

 

 

 

 

 

[등차수열]

▶ 등차 수열이란?

연속된 항 사이의 차이가 일정한 수열을 말한다.

 

예시는 다음과 같다.

2, 4, 6, 8, 10 → 공차(d) = 2

일반항: an = a₁ + (n - 1) × d

수열	공차(d)	일반항(an)
2, 5, 8, 11...	3	an = 2 + (n - 1) × 3 = 3n - 1
5, 9, 13, 17...	4	an = 5 + (n - 1) × 4 = 4n + 1

 

 

▶ 등차중항 (가운데 항)이란?

세 항 중 가운데 항 = 앞 항과 뒷 항의 평균

공식: an = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

 

예시는 다음과 같다.\

수열 : 5, 9, 13 → 9 = (5 + 13) / 2

수열 : 2, 5, 8, ?, 14, 17 → 중간 항 = (5 + 17) / 2 = 11

 

 

 

 

▶ 등차수열의 합 공식

항의 수: n

첫째항: a₁

마지막 항: aₙ

공식: sn = n(a₁ + aₙ) / 2

 

예시는 다음과 같다.

수열 : 2, 5, 8, 11, 14, 17 (n = 6)
→ 합: 6(2 + 17)/2 = 57

수열 : 5, 9, 13, 17, 21, 25 (n = 6)
→ 합: 6(5 + 25)/2 = 90

 

 

▶ 요약

• 등차수열 : 연속된 항의 차이가 일정한 수열
• 일반항 공식 : an = a₁ + (n - 1) × d
• 중앙 항 공식 : an = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
• 합 공식 : sn = n(a₁ + aₙ) / 2

 

 

 

 

[등차수열_파이썬]

▶ 코드 : 등차수열의 n번째 항 구하기

a1 = 2    # 첫째항
d = 3     # 공차
n = int(input("n번째 항을 입력하세요: "))

an = a1 + (n - 1) * d
print(f"{n}번째 항의 값은:", an)

★ 출력 결과 ★

n번째 항을 입력하세요: 5
5번째 항의 값은: 14

 

 

▶ 코드 : 등차수열의 합 구하기

a1 = 5     # 첫째항
d = 4      # 공차
n = int(input("몇 번째 항까지의 합을 구할까요? "))

an = a1 + (n - 1) * d
sn = n * (a1 + an) // 2
print(f"1부터 {n}번째 항까지의 합은:", sn)

★ 출력 결과 ★

몇 번째 항까지의 합을 구할까요? 6
1부터 6번째 항까지의 합은: 90

 

 

 

 

 

[등비수열]

▶ 등비 수열이란?

연속된 항들의 비가 일정한 수열을 말한다.

 

예시는 다음과 같다.

2, 6, 18, 54, 162...

공비(r) = 3

일반항(an): an = a₁ × rⁿ⁻¹

수열	공비(r)	일반항(an)
2, 4, 8, 16...	2	an = 2 × 2ⁿ⁻¹
5, 15, 45, 135...	3	an = 5 × 3ⁿ⁻¹

 

 

▶ 등비중항 (가운데 항)이란?

세 항 중 가운데 항² = 양쪽 항의 곱

공식 : an² = aₙ₋₁ × aₙ₊₁

 

예시는 다음과 같다.

수열 : 2, 4, 8, ?, 32, 64
an² = 4 × 64 → an = √256 = 16

수열 : 5, 15, 45, ?, 405, 1215
an² = 15 × 1215 → an = 135

 

 

 

 

▶ 등비수열의 합 공식

항 수: n

첫째항: a₁

공비: r ≠ 1

공식 : sn = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r)

 

예시는 다음과 같다.

• 수열: 2, 4, 8, 16, 32, 64 (n = 6, r = 2)
  • sn = 2 × (1 - 2⁶) / (1 - 2) = 2 × (1 - 64)/(-1) = 126
• 수열: 5, 15, 45, ..., 1215 (n = 6, r = 3)
  • sn = 5 × (1 - 3⁶) / (1 - 3) = 5 × (1 - 729)/(-2) = 1820

 

 

▶ 요약

• 등비수열 : 항과 항 사이의 비가 일정한 수열
• 일반항 공식 : an = a₁ × rⁿ⁻¹
• 중항 공식 : an² = aₙ₋₁ × aₙ₊₁
• 합 공식 : sn = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r)

 

 

 

 

 

[등비수열_파이썬]

파이썬에서는 ** 연산자와 조건문을 활용해 손쉽게 구현 가능함

▶ 코드 : 등비수열의 n번째 항 구하기

a1 = 2     # 첫째항
r = 2      # 공비
n = int(input("n번째 항을 입력하세요: "))

an = a1 * (r ** (n - 1))
print(f"{n}번째 항의 값은:", an)

★ 출력 결과 ★

n번째 항을 입력하세요: 5
5번째 항의 값은: 32

 

 

▶ 코드 : 등비수열의 합 구하기

a1 = 5     # 첫째항
r = 3      # 공비
n = int(input("몇 번째 항까지의 합을 구할까요? "))

if r == 1:
    sn = a1 * n
else:
    sn = a1 * (1 - r ** n) // (1 - r)

print(f"1부터 {n}번째 항까지의 합은:", sn)

★ 출력 결과 ★

몇 번째 항까지의 합을 구할까요? 6
1부터 6번째 항까지의 합은: 1820

 

 

 

 

[시그마]

▶ 시그마(∑)란?

수열의 합을 나타내는 기호를 말한다.

∑는 "시그마"라고 읽으며, 1부터 n까지 반복되는 항들의 총합을 의미한다.

 

기본적인 형식은 다음과 같다.

n
∑ ak  = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ
k=1

 

k=1 : 시작값

n : 끝값

ak : 일반항(각 항의 식)

 

 

 

▶ 예시

수열 : 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374

공비 r = 3

일반항 : ak = 2 × 3^(k-1)

 

합 표현은 다음과 같다.

8
∑ 2 × 3^(k-1)
k=1

 

 

▶ 요약

• 시그마(∑) : 수열의 합을 표현하는 기호
• 시작값(k=1)부터 끝값(n)까지 일반항을 반복해서 더함
• 등차/등비수열 모두 시그마로 표현 가능하며 수열의 합 계산이 쉬워짐

 

 

 

 

 

[시그마_파이썬]

파이썬에서는 for문을 이용하여 시그마 표현을 그대로 구현 가능함

▶ 코드 : ∑ 2k (k=1 to 10)

total = 0
for k in range(1, 11):
    total += 2 * k
print("합계:", total)

★ 출력 결과 ★

합계: 110

 

 

▶ 코드 : ∑ 2 ×3^(k-1) (k=1 to 8)

total = 0
for k in range(1, 9):
    total += 2 * (3 ** (k - 1))
print("합계:", total)

★ 출력 결과 ★

합계: 6560

 

 

 

 

[나의 생각 정리]

수열부터 시그마까지 흐름을 따라가며 개념을 다시 정리할 수 있어서 좋았다.
특히 수식을 코드로 직접 구현하면서 수학이 실제로 어떻게 작동하는지 더 잘 이해할 수 있었다.

 

 

[적용점]

• 수열을 볼 땐 먼저 규칙을 찾아 일반항으로 표현한 뒤, 코드로 구현하는 연습을 반복
• 등차수열/등비수열의 합 공식은 직접 유도해보며 암기
• 시그마(∑) 표현은 반복 구조와 직접적으로 연결되는 점 참고
• 반복되는 계산 문제를 만났을 땐 수열 + 시그마 형태로 바꾸어 수학적 해석부터 해보기

 

 

 

 

“이 글은 제로베이스 데이터 스쿨 주 3일반 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.”